理論電気回路回路網・過渡現象出題頻度: ★★☆☆☆配点: 5点
2025年8月31日実施 理論 A問題 問10
図の回路のスイッチ S を t = 0 s で閉じる。電流 iS [A] の波形として最も適切に表すものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，スイッチ S を閉じる直前に，回路は定常状態にあったとする。
選択肢
💡解説
📐使用する公式
•RL回路の過渡応答（電流の上昇）：i(t) = VR × (1 − e−Rt/L) [A]
•コンデンサ電圧の過渡応答（電圧の減衰）：v(t) = V0 × e−t/RC [V]（V0 は t = 0 での初期電圧）
•キルヒホッフの電流則（KCL）：一つのノードに流れ込む電流の総和と流れ出る電流の総和は等しい
1スイッチ S を閉じる直前（t < 0）の定常状態
S が開いている間，電流は電源 → 1Ω → 1H → 2F（コンデンサ）→ 1Ω という一つの直列閉回路のみを流れる。定常状態ではコンデンサは直流電流を通さないため，この閉回路の電流は 0A である。よってインダクタの電流 iL(0−) = 0A となる。また電流が 0A のため両方の 1Ω 抵抗での電圧降下はなく，電源電圧 1V がそのままコンデンサにかかる：VC(0−) = 1V となる。
2スイッチ S を閉じた直後（t = 0+）の値
スイッチ S が閉じると，インダクタと S の接続点（ノード）はスイッチを介して回路下側の線に直接つながる（理想スイッチのため 0Ω）。
•インダクタの電流は不連続に変化できないため，iL(0+) = iL(0−) = 0A のまま。
•コンデンサの電圧も不連続に変化できないため，VC(0+) = VC(0−) = 1V のまま保持される。この電圧がそのままコンデンサ側の 1Ω 抵抗にかかるため，コンデンサ側の分岐電流は VC(0+)1Ω = 11 = 1A となり，この電流はノードに向かって流れ込む方向である。
•キルヒホッフの電流則より，iS(0+) = iL(0+)＋（コンデンサ側分岐からノードへ流れ込む電流） = 0 ＋ 1 = 1A となる。
→ iS は 0A からではなく，1A から始まる。
3時間変化（t > 0）の一般式
スイッチが閉じている間，このノードの電圧は常に 0V に固定される（理想スイッチで下側の線に直結されているため）。よって左右の分岐はそれぞれ独立に過渡応答する。
•インダクタ側は電源 1V・抵抗 1Ω・インダクタ 1H の単純な RL 直列回路として，電流が 0A から最終値 11 = 1A へ上昇する：
iL(t) = 11 × (1 − e−1×t/1) = 1 − e−t [A]
•コンデンサ側は，コンデンサ電圧が初期値 1V から時定数 τ = RC = 1×2 = 2s で 0V へ減衰する：
VC(t) = 1 × e−t/2 [V]
よってコンデンサ側の分岐電流（ノードへ向かう方向）：iC(t) = VC(t)1Ω = e−t/2 [A]
•キルヒホッフの電流則より：
iS(t) = iL(t) ＋ iC(t) = (1 − e−t) ＋ e−t/2 [A]
4波形の判別根拠
上の式に基づいて各選択肢を判別する。
•t = 0 での値：iS(0) = 1 − 1 ＋ 1 = 1A となる。0A から始まる波形（(2)・(4)）は，コンデンサ側分岐からの流入電流を考慮していないため誤り。
•t > 0 での挙動：iS(t) − 1 = e−t/2 − e−t = e−t/2 × (1 − e−t/2) となる。t > 0 では e−t/2 も (1 − e−t/2) も共に正の値となるため，この式は常に正となる。つまり iS(t) は常に 1A より大きい値をとり，1A を上回った状態から時間とともになめらかに 1A へ収束する（オーバーシュートして単調に減衰する波形）。
1A 未満に落ち込みながら振動して収束する波形（(1)）は，2つの指数関数の和であるこの回路の応答（振動は発生しない）と一致せず誤り。過渡的な変化が一切なく常に 1A で一定の波形（(5)）も，L・C による過渡応答が存在するため誤り。
•以上より，1A から始まり，1A をわずかに上回るピークをつけたのち滑らかに 1A へ収束する波形である (3) が正しい。
✅答え：(3)
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