2024年8月18日実施 理論 A問題 問10

S が開いているため，電流の経路は「1 V 電源 → 1 Ω → 1 H → 2 F → 1 Ω」の直列ループのみである。定常状態ではコンデンサは開放と等価になるため電流は流れず，i_L(0^-) = 0 A となる。このとき 1 Ω・1 H には電圧降下がないため，コンデンサの端子電圧はすべて電源電圧に等しくなり，v_C(0^-) = 1 V（S側の端子が高電位）となる。

S は理想的なスイッチ（内部抵抗 0）なので，閉じた瞬間に S の両端（L と C の接続点）の電位は基準電位（0 V）に固定される。これにより，L 側の枝（1 Ω・1 H・S）と C 側の枝（2 F・1 Ω）は互いに独立した1次回路に分離される。

i_L(0) = 0 A から出発するRL回路として振る舞う。τ_L = 1 H1 Ω = 1 s：

i_L(t) = 1 V1 Ω(1 - e^-t/τ_L) = 1 - e^-t [A]

コンデンサ電圧は連続なので v_C(0⁺) = v_C(0^-) = 1 V となる。S 側の端子が 0 V に固定されているため，このコンデンサは 1 Ω を通じて放電するRC回路として振る舞う。τ_C = 1 Ω × 2 F = 2 s である。接続点へ向かう放電電流の大きさは：

1 V1 Ω × e^-t/τ_C = e^-t/2 [A]

キルヒホッフの電流則（接続点）より，i_S は L 側の充電電流と C 側の放電電流の和になる：

i_S(t) = i_L(t) + e^-t/2 = (1 - e^-t) + e^-t/2 [A]

t = 0：i_S(0) = (1 - 1) + 1 = 1 [A]

t → ∞：i_S(∞) = (1 - 0) + 0 = 1 [A]

e^-t/2 は e^-t より減衰が遅い（時定数が長い）ため，t > 0 では常に i_S(t) > 1 [A] となり，一度だけ最終値を上回った（オーバーシュートした）のち，振動せず単調に 1 A へ収束する。

本回路はスイッチ S が接続点を強制的に基準電位へ固定するため，L と C が結合した1つの直列 RLC 振動回路にはならない。したがって，減衰係数 α と固有角周波数 ω₀ による不足制動・臨界制動・過制動の判別（一般的な直列 RLC 回路の理論）はこの回路には適用できない。i_S は，独立した RL 充電応答と RC 放電応答という2つの1次遅れ応答の重ね合わせ（和）として求まる。